[Vector Calculus] 벡터와 스칼라

벡터 Vector

벡터는 수를 일렬로 모은 것으로 서로 계산이 가능한 양이다.

벡터를 표기할 때는 위에 화살표 표시를 넣거나 볼드체를 써서 다음과 같이 표기한다.

$\textbf {v} = \vec v = (a, b) = \begin {bmatrix} a \\ b \end {bmatrix}$

$a, b$는 $\vec v$ 의 성분이라고 한다.

 

또한 이 표현은 다음과 같이 좌표계의 기저(basis)를 이용하여 나타낼 수 있다.

$\textbf {v} = (a, b) = a \textbf e_1 + b \textbf e_2$

 

가장 흔히 쓰이는 좌표계인 카르테시안(Cartesian) 좌표계($x,y,z$ 축을 기저로 갖는 좌표계)를 도입하면 위는 다음과 같다.

$\textbf {v} = (a, b) = a \hat i + b \hat j$

 

벡터는 따라서 좌표계 상의 한 점에 대응될 수 있다.

그래서 벡터는 크기와 방향을 가진다.

 

벡터간의 연산은 일반 수의 계산과 크게 다르지 않다.

 

$\textbf v = a \textbf e_1 + b \textbf e_2$

$\textbf u = c \textbf e_1 + d \textbf e_2$

스칼라(scalar) $k$ 에 대하여

 

$\textbf v + \textbf u = (a + c) \textbf e_1 + (b + d) \textbf e_2$

$k\textbf v = ka \textbf e_1 + kb \textbf e_2$

이다.

 

교환법칙, 분배법칙, 그리고 결합법칙이 성립한다.

 

위 성질들에서 다음을 유도할 수 있는데 스칼라 $n, m$ 에 대해서

$n\textbf v + m\textbf u = (na + mc) \hat e_1 + (nb + md) \hat e_2$

 

[Linear Algebra] 선형성

즉, 선형성이다.

따라서, 벡터 자체가 선형 객체임을 알 수 있다.

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벡터의 물리적 의미

이상은 수학적으로 본 벡터의 의미이다.

그렇다면, 벡터의 물리적인 의미는 무엇일까?

 

물리량 중에서 벡터로 표현되는 가장 대표적인 것은 아무래도 힘 $\textbf F$일 것이다.

다음 그림을 보자.

 

 

질량 $m$에 힘들이 가해지고 있는 모습을 $x-y$ 좌표계에서 바라본 모습이다.

Newton의 운동법칙에 따라 이 물체는 가속도를 받게 될 것이다.

그렇다면 다음의 경우는 어떨까?

 

기울어진 기저 $x'-y'$를 통해 본 다른 사람의 관점이다.

그런데, 다른 관점에서 보면 이 물체의 운동 양상이 달라질까?

 

그렇지 않다.

물리 법칙은 어디에서 어떻게 보든 간에 동일한 결과를 보인다.

좌표계에 따라 측정값은 달라지지만 운동의 본질은 바뀌지 않는다.

이것이 벡터의 물리적 의미이다.

 

좌표변환에 대하여 불변하는 본질을 갖는 것이다.

 

하지만 모든 벡터가 이러한 것은 아니다.

특수한 몇 가지들이 이러한 조건을 만족시킨다.

힘($\textbf F$), 가속도($\textbf a$), 상대속도($\textbf v_r$) 등이 대표적인 예시들이다.

 

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스칼라 Scalar

스칼라(Scalar)는 일반적으로 다루는 수들이다.

Scalar의 어원은 scale + -er 인데 scale은 크기이다.

즉 크기를 조절하는 인자라는 뜻이다.

벡터의 연산에서

$k\textbf v = ka \hat e_1 + kb \hat e_2$

 

이 식을 보면 벡터에 스칼라 $k$가 곱해지면

각 성분이 $k$배가 된다.

스칼라가 벡터를 방향을 유지하면서 길이를 늘이거나 줄이는 효과를 가하는 것을 알 수 있다.

 

물리량 중에 스칼라인 것들이 있다.

대표적인 것이 질량($m$), 에너지($E$)이다.