[Vector Calculus] 편미분, 전미분

편미분 Partial Derivative

편미분은 2개 이상의 독립변수를 가지는 함수

$f : x_1 , x_2 , \cdots , x_n \mapsto y$에 대하여

독립변수 $x_i$에 대한 편미분은 다음으로 정의된다.

$\displaystyle \cfrac {\partial f} {\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \cfrac {f(x_1, \cdots, x_i + h, \cdots, x_n) - f(x_1, \cdots, x_n)} {h}$

 

위와 같이 독립변수가 여러 개인 함수는 일반적인 미분에 더하여 편미분이 정의된다.

이것이 벡터 미적분과 무슨 연관일까?

 

독립변수가 여러 개라는 것은 바꿔서 보면

벡터를 독립변수로 가지는 것이다.

 

즉 $f : \mathbf x \mapsto y \; \mathbf x \in \mathbb R^n$ 인 것이다.

 

간단하게 독립변수를 2개 갖는 함수 $g : x, y \mapsto z$를 보자.

$g(x, y) = x^2 + xy + e^y$라 할 때

$\displaystyle \cfrac {\partial g} {\partial x} = \lim_{h \to 0} \cfrac {f(x + h, y) - f(x, y)} {h}$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac {\left\{(x+h)^2 + (x+h)y + e^y \right\} - \left\{x^2 + xy + e^y\right\}} {h}$

$= \displaystyle \lim_{h \to 0} \cfrac {2hx + h^2 + hy} {h} = 2x + y$

 

이러한 과정은 편미분 대상이 아닌 다른 독립변수를 상수로 취급하는 것과 동일하다.

즉 위 과정에서 $y$는 상수로 취급되었다.

따라서 원래의 미분공식을 그대로 사용할 수 있다.

또한 미분에서 성립하는 모든 성질이 그대로 성립한다.

 

따라서 함수 $g(x, y)$의 $y$에 대한 편미분은 위와 같은 과정을 거치지 않고도

$\displaystyle \cfrac {\partial g} {\partial y} = x + e^y$

임을 구할 수 있다.

 

편미분이 의미하는 것은 무엇일까?

도함수(Derivative)는 순간 변화율이고 접선의 기울기였다.

편미분 또한 기울기이고 순간 변화율이다. 다만, 한 축 방향으로의 기울기이다.

$\displaystyle \cfrac {\partial g} {\partial x}$ 라는 것은

함수 $g$가 이루는 곡면의 $x$축 방향 단면의 기울기인 것이다.

$y$가 고정되면 곡면 전체를 고려할 필요 없이 하나의 곡선만 보면 되는 것이다.

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전미분 Total Derivative, 완전미분 Exact Derivative

전미분 또는 완전미분은 독립변수가 1개인 함수에서의 도함수에 해당하는 개념이다.

함수 $f : \mathbf x \mapsto y , \mathbf x \in \mathbb R^n$에 대하여 전미분은 다음으로 정의된다.

$df = \displaystyle \sum_{i = 1}^{n} \cfrac {\partial f} {\partial x_i} dx_i$

 

위의 예시로 든 $g$에 대하여 전미분을 구해보면

$dg = \displaystyle \cfrac {\partial g} {\partial x} dx + \cfrac {\partial g} {\partial y} dy$

$= (2x + y)dx + (x + e^y)dy$

이다.

 

각 방향의 순간 변화율과 증분의 곱의 합이다.

 

단일 변수 함수에서도 도함수는 다음으로 정의되는데

$\displaystyle \cfrac {dh(x)} {dx} = h'(x)$

이를 변형하면

$dh(x) = h'(x)dh$가 된다.

이를 일반화한 것이라 생각하면 된다.

 

따라서 전미분은 증분이 없이는 정의되지 않는다.