[Vector Calculus] 벡터의 내적과 외적

내적 Inner product / Dot product

$\textbf v, \textbf u, \textbf w \in \mathbb R ^3$ 에 대하여

일반적인 내적(dot product)은 다음으로 정의된다.

$\textbf v \cdot \textbf u =\displaystyle \sum _{i=1} ^{3} v_i u_i$

 

따라서 교환법칙과 분배법칙이 성립한다. 즉,

$\textbf v \cdot \textbf u = \textbf u \cdot \textbf v$

$\textbf v \cdot (\textbf u + \textbf w) = \textbf v \cdot \textbf u + \textbf v \cdot \textbf w$

 

벡터의 크기인 유클리디언 놈(Euclidean norm)은 내적을 통해 다음으로 정의된다.

$\begin {Vmatrix} \textbf v \end {Vmatrix} = \sqrt {\textbf v \cdot \textbf v}$

 

그리고 내적과 놈, 사이각 $\theta$에 대하여 다음이 성립한다.

$\textbf v \cdot \textbf u = \begin {Vmatrix} \textbf v \end {Vmatrix} \begin {Vmatrix} \textbf u \end {Vmatrix} \cos \theta$

 

따라서 다음이 성립한다.

$\textbf v \cdot \textbf u = 0 \iff \textbf v \perp \textbf u$

 

내적의 물리적인 의미는 두 벡터의 공통 방향 성분의 곱을 추출하는 것이라 할 수 있다.

이는 아래 그림으로 설명된다.

 

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외적 Outer product / Cross product

위와 같은 조건에서, 외적(cross product)은 다음으로 정의된다.

$\textbf v \times \textbf u = (v_2 u_3 - v_3 u_2) \textbf e_1 + (v_3 u_1 - v_1 u_3)\textbf e_2 + (v_1 u_2 - v_2 u_1)\textbf e_3$

 

내적과는 다르게 연산 결과가 스칼라가 아니라 그대로 벡터로 나온다.

위 정의에 따라 다음이 성립한다.

$\textbf v \times \textbf u = - \textbf u \times \textbf v$

이는 일반적인 교환법칙과 달리 부호가 반전된다. 이를 anticommutativity 라고 한다.

또한 분배법칙이 성립한다. 

$\textbf v \times (\textbf u + \textbf w) = \textbf v \times \textbf u + \textbf v \times \textbf w$

 

또한 두 벡터와 그 외적의 놈, 사이각 $\theta$에 대하여 다음이 성립한다.

$\begin {Vmatrix} \textbf v \times \textbf u \end {Vmatrix} = \begin {Vmatrix} \textbf v \end {Vmatrix} \begin {Vmatrix} \textbf u \end {Vmatrix} \sin \theta$

 

따라서 다음이 성립한다,

$\textbf v \times \textbf u = \vec 0 \iff \exists k \ne 0 \; s.t.  \; \textbf v = k \textbf u$

 

또한 

$(\textbf v \times \textbf u) \cdot \textbf v = v_1 v_2 u_3 - v_1 v_3 u_2 + v_2 v_3 u_1 - v_1 v_2 u_3 + v_1 v_3 u_2 - v_2 v_3 u_1 = 0$

$\textbf u$ 에 대해서도 위가 마찬가지로 성립하므로 내적의 성질에 따라 다음이 성립한다. 

$\textbf v \times \textbf u \perp \textbf v, \textbf u$

 

외적의 물리적인 의미는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이이다.

또한 서로 수직한 성분끼리의 곱이다.

이는 아래의 그림으로 설명된다.

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기원

벡터의 내적과 외적은 차원에 관계 없이 정의되어 있으나 공학에서 가장 자주 쓰이는 3차원을 기준으로 설명하겠다.

벡터의 내적과 외적은 하나의 식으로부터 유래된다.

 

$\textbf v = v_1 \textbf e_1 + v_2 \textbf e_2 + v_3 \textbf e_3$

$\textbf u = u_1 \textbf e_1 + u_2 \textbf e_2 + u_3 \textbf e_3$ 

에 대하여

$\textbf v \times \textbf u = (v_2 u_3 - v_3 u_2)\textbf e_1 + (v_3 u_1 - v_1 u_3)\textbf e_2 + (v_1 u_2 - v_2 u_1)\textbf e_3 $

$\textbf v \cdot \textbf u = v_1 u_1 + v_2 u_2 + v_3 u_3$

임을 위에서 다루었다.

 

이때, 다음이 성립한다.

$\textbf v \textbf u = \textbf v \cdot \textbf u + \textbf v \times \textbf u$ 

 

먼저 좌변을 전개해 보자.

$\begin {matrix} \textbf v \textbf u &=& (v_1 \textbf e_1 + v_2 \textbf e_2 + v_3 \textbf e_3) (u_1 \textbf e_1 + u_2 \textbf e_2 + u_3 \textbf e_3) \\ &=& v_1 u_1 \textbf e _1 ^2 + v_2 u_2 \textbf e _2 ^2 + v_3 u_3 \textbf e _3 ^2 \\ && + v_1 u_2 \textbf e_1 \textbf e_2 + v_1 u_3 \textbf e_1 \textbf e_3 + v_2 u_1 \textbf e_2 \textbf e_1 \\ && + v_2 u_3 \textbf e_2 \textbf e_3 + v_3 u_1 \textbf e_3 \textbf e_1 + v_3 u_2 \textbf e_3 \textbf e_2\end{matrix}$

이때 기저 간의 곱셈에 다음의 법칙이 성립한다.

$\textbf e_i ^2 = 1 (i = 1, 2, 3)$

$\textbf e_1 \textbf e_2 \textbf e_3 = 1$

$\textbf e_i \textbf e_j = - \textbf e_j \textbf e_i \; (i \ne j)$

 

3번째는 외적에서의 성질과 같은 anticommutativity이다.

 

이 법칙에 따라 서로 다른 기저의 곱은 나머지 기저가 되는데 방향은 곱하는 순서에 따라 다르다.

두번째 식의 양변에 $\textbf e_1$을 곱해 보면 1번 법칙에 따라 쉽게 유도할 수 있다.

$\textbf e_1 \textbf e_1 \textbf e_2 \textbf e_3 = \textbf e_1$

$\textbf e_2 \textbf e_3 = - \textbf e_3 \textbf e_2 = \textbf e_1$

 

 

이를 그림으로 표현하면 다음과 같다.

 

시계방향 순서로 기저를 곱하면 나머지 기저의 양의 부호가 되고,

반시계방향 순서로 기저를 곱하면 나머지 기저의 음의 부호가 된다.

 

따라서 전개한 좌변을 다음으로 정리할 수 있다.

$(v_1 u_1 + v_2 u_2 + v_3 u_3) + {(v_2 u_3 - v_3 u_2)\textbf e_1 + (v_3 u_1 - v_1 u_3)\textbf e_2 + (v_1 u_2 - v_2 u_1)\textbf e_3} \\= \textbf v \cdot \textbf u + \textbf v \times \textbf u$

 

내적과 외적은 일반적인 곱과 다르다. 하지만 이는 일반적인 곱셈으로 위의 과정을 통해 유도될 수 있다.