[Linear Algebra] 선형성

선형성 Linearity

선(Line)과 같은 성질을 의미한다. 

수학적으로는 함수 $f = f(x)$, 변수 $x, y$ 상수 $a, b$에 대하여

아래를 만족하는 함수 $f$를 선형성을 가진다라고 표현한다.

$f(ax+by) = af(x)+bf(y)$

$a, b \in \mathbb {R}$

 

이 성질이 선(Line)과 어떤 관련이 있기에 선형(Linear)라고 하는 것일까?

우선 이 함수는 반드시 원점 (0, 0)을 지난다.

$a=b=0 \rightarrow f(0) = 0 $

 

그리고 $b=0$ 일 때, 입력의 실수배는 출력의 실수배임을 알 수 있다.

$f(ax) = af(x)$

 

위 식의 양변을 미분하면 다음을 얻는데

$af'(ax) = af'(x)$

$f'(ax) = f'(x)$

 

임의의 실수 $x$에 대하여 위가 성립하기 위해서는

$f'(x) = C$

즉 도함수가 상수여야만 한다.

 

위의 두 성질을 토대로

$f(x) = Cx$

임을 알 수 있다. 즉 선형성이란 실제로 직선의 함수와 같은 성질을 의미한다.

저기에서 $f$라는 함수의 범위를 넓혀 어떤 입력에 대하여 출력을 내는 관계로 일반화하면 직선형의 함수 뿐만 아니라 다양한 형태의 함수 및 연산을 다룰 수 있다.

가장 쉬운 예시로는 미분과 적분이 있다. 이들은 선형 연산이다.

왜냐하면

$\cfrac {d} {dx} \left( af(x) + bg(x)\right) = af'(x) + bg'(x)$

이기 때문이다.

 

적분은 미분의 역이니 선형 연산의 역은 선형 연산일 수 밖에 없다.

역함수 관점에서 생각해보자.

 

한편, 선형성의 정의에서 두 변수 $x, y$ 와 두 상수 $a, b$ 에 대하여

$ax + by$

와 같은 형태의 연산을 선형 조합(Linear Combination)이라고 한다.