[Vector Calculus] 벡터 삼중곱, 스칼라 삼중곱

벡터 삼중곱 Vector Triple Product

벡터 삼중곱은 카르테시안 좌표계 위의 공간벡터 $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w$에 대하여

$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c)$이다.

벡터 삼중곱으로 불리는 이유는 결과가 벡터이기 때문이다.

 

 

이를 ESC를 이용하여 나타내 보자.

아인슈타인 합 규약(Einstein's Summation Convention)에 대해서는 아래 글에서 다루었다.

[Vector Calculus] 아인슈타인 표기, 크로네커 델타, 레비-치비타 기호

$\mathbf d = \mathbf b \times \mathbf c = \varepsilon_{ijk} b_i c_j \mathbf e_k = d_k \mathbf e_k$

$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf a \times \mathbf d = \varepsilon_{pkq} a_pd_k \mathbf e_q$

$=\varepsilon_{pkq}\varepsilon_{ijk} a_p b_i c_j \mathbf e_q$

$=-\varepsilon_{kpq}\varepsilon_{kij} b_i c_j a_p \mathbf e_q$

 

여기서 $\varepsilon_{kpq}\varepsilon_{kij}$는 ESC에 따라 $k$에 대하여 합으로 나타난다.

따라서

$\varepsilon_{kpq}\varepsilon_{kij} = \varepsilon_{1pq}\varepsilon_{1ij} +\varepsilon_{2pq}\varepsilon_{2ij} +\varepsilon_{3pq}\varepsilon_{3ij}$

여기서 $i = p, j = q$ 일 때 항의 값은 1이고 다른 값일 때는 -1이다.

다른 값일 때는 다르게 쓰면 $i = q, j = p$인 경우이다.

이를 합하여 적으면 다음과 같다.

$\varepsilon_{kpq}\varepsilon_{kij} = \delta_{ip}\delta_{jq} - \delta_{iq}\delta_{jp}$

이는 자주 쓰이므로 외워두는 편이 좋다.

 

따라서

$\varepsilon_{kpq}\varepsilon_{kij} b_i c_j a_p \mathbf e_q = \left( \delta_{ip}\delta_{jq} - \delta_{iq}\delta_{jp} \right) b_i c_j a_p \mathbf e_q$

$=\delta_{ip}\delta_{jq}b_i c_j a_p \mathbf e_q - \delta_{iq}\delta_{jp} b_i c_j a_p \mathbf e_q$

$=\left(\delta_{ip}b_i a_p\right) c_j\delta_{jq}\mathbf e_q - \left(\delta_{jp}c_j a_p \right)b_i\delta_{iq}\mathbf e_q$

$=\left(\mathbf a \cdot \mathbf b\right) \mathbf c - \left( \mathbf a \cdot \mathbf c \right) \mathbf b$

 

따라서

$\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c) = \left(\mathbf a \cdot \mathbf b\right) \mathbf c - \left( \mathbf a \cdot \mathbf c \right) \mathbf b $

임을 알 수 있다.

 

여기서 결합법칙이 성립할까?

확인해보자.

 

$(\mathbf a \times \mathbf b) \times \mathbf c = - \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b)$

$= - (\mathbf c \cdot \mathbf a) \mathbf b + (\mathbf c \cdot \mathbf b) \mathbf a$

따라서 벡터의 외적에서는 결합법칙이 성립하지 않음을 알 수 있다.

 

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스칼라 삼중곱 Scalar Triple Product

스칼라 삼중곱은 다음과 같은 연산이다.

$\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c)$

내적이 마지막 연산이니 결과가 스칼라다.

그래서 스칼라 삼중곱이다.

 

이를 위와 같이 ESC를 이용하여 나타내보자.

$\mathbf d = \mathbf b \times \mathbf c = \varepsilon_{ijk} b_i c_j \mathbf e_k = d_k \mathbf e_k$

$\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \mathbf a \cdot \mathbf d$

$= a_k d_k =a_k\varepsilon_{ijk} b_i c_j = \varepsilon_{ijk} b_i c_j a_k =\varepsilon_{kij} a_k b_i c_j $

ESC를 풀어서 써보면

$\varepsilon_{kij} a_k b_i c_j = a_1 (b_2 c_3 - b_3 c_2) - a_2 (b_1 c_3 - b_3 c_1) + a_3 (b_1 c_2 - c_1 b_2)$

 

익숙한 형태이다.

 

그렇다. 위 식은

$\det \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}$

와 같다.

 

따라서 

$\mathbf a \cdot (\mathbf b \times \mathbf c) = \det\begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix}$

이다.

 

연산에 관여한 세 벡터를 행으로 쌓은 행렬의 행렬식이다.

따라서 스칼라 삼중곱의 값은 세 벡터가 이루는 다면체의 부피와 같다.

행렬식에 관한 내용은 아래의 글을 참고하자.

[Linear Algebra] 행렬식, 역행렬