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2023-01-08 13:26:53
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해석 함수, 정칙 함수 Analytic Function, Holomorhpic Function

해석 함수(Analytic Function), 또는 정칙 함수(Holomorphic Function)

미분 가능한 복소함수를 뜻한다.

해석적(Analytic), 정칙(Holomorphic)이라는 것은

어느 영역에 대하여 그 구간 안에서 미분 가능함을 말한다.

 

특별히 복소 평면 전체에서 미분 가능한 함수를

전해석 함수(Entire Function)이라 부른다.

 

즉, 해석 함수라는 것은

어떤 영역 $R$ 에서 코시-리만 방정식을 만족하는 복소함수를 의미한다.

아래 글에서 코시-리만 방정식미분가능성동치라는 것을 다루었다.

 

[Complex Analysis] 복소함수와 미분가능성, 코시-리만 방정식

복소 함수 Complex Function 복소 함수란 정의역과 공역이 복소수인 함수 $f : \mathbb C \to \mathbb C$ 를 의미한다. 관습적으로 복소수는 $z = x + yi, x, y \in \mathbb R$로 표기한다. 즉 복소함수 $f$는 $f = f(z) = f(

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복소 함수의 경로 적분 Path Integration of Complex Function

복소 함수는 실함수와 다르게 정의역이 2차원인 복소 평면이다.

실함수에서 독립변수가 변하는 것은 한 축으로 제한되어 있으므로

그 방향이 +, - 단 두 가지 뿐이지만

복소 함수는 변할 수 있는 방향이 무한히 많다.

따라서 복소 함수의 정적분은 복소평면 상에서 경로로 표현될 수 있을 것이다.

즉, 벡터장유사한 성질을 복소 함수가 지님을 예상할 수 있다.

 

벡터장의 경로 적분에 관해서는 아래 글에서 다루었다.

 

[Vector Calculus] 경로 적분

경로 적분 Contour Integral 경로 적분(Contour Integral) 또는 선적분(Line Integral)으로 불리는 이 연산은 벡터장 $\mathbf F(\mathbf x) = \mathbf y$을 경로 $C$를 따라 벡터장을 적분하는 것이다. 따라서 다음과 같

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따라서, 복소함수 $f(z)$의 경로 $C$에 대한 정적분은 다음과 같이 나타낼 수 있을 것이다.

$\displaystyle \int_C f(z)\; \mathrm dz$

여기서 $f(z)$가 경로 $C$를 포함하는 영역 $R$에서 해석적이라고 하자.

즉, 미분이 가능하며 코시-리만 방정식을 만족하는 것이다.

$f(z) = f(x + yi) = u(x, y) + v(x, y) i$ 에 대해서

$\displaystyle \begin{cases} \cfrac {\partial u} {\partial x} = \cfrac {\partial v} {\partial y} \\ \cfrac {\partial u} {\partial y} = - \cfrac {\partial v} {\partial x} \end{cases}$

 

그리고 $z = x + iy$이므로 $\mathrm dz = \mathrm dx + i \mathrm dy$ 이다.

 

$\displaystyle \int_C f(z) \; \mathrm dz$

위 식을 따라서 다음으로 정리할 수 있을 것이다.

$\displaystyle \int_C \left( u + vi \right) (\mathrm dx + i \mathrm dy) $

$\displaystyle = \int_C \left( u + vi \right) \mathrm dx + \left( -v + ui \right) \mathrm dy$

여기서 적분 안쪽의 형태는 완전형(Exact Form)이다. 왜냐하면

$\displaystyle \cfrac {\partial} {\partial y} \left( u + vi \right) = \cfrac {\partial u} {\partial y} + i \cfrac {\partial v} {\partial y} = \cfrac {\partial u} {\partial y} + i \cfrac {\partial u} {\partial x}$

$\displaystyle \cfrac {\partial} {\partial x} \left( -v + ui \right) = -\cfrac {\partial v} {\partial x} + i \cfrac {\partial u} {\partial x} = \cfrac {\partial u} {\partial y} + i \cfrac {\partial u} {\partial x}$

 

따라서

$\left( u + vi \right) (\mathrm dx + i \mathrm dy) = \mathrm dF$

인 스칼라장 $F$가 존재한다.

이는 경로 독립(Path Indepence)의 조건과 완벽하게 일치한다.

경로 적분에서의 경로 독립은 아래 글에서 다루었다.

 

[Vector Calculus] 경로 독립, 구배, 포텐셜 함수, 보존적 함수

경로 독립 Path Independent 경로 독립이란 선적분의 값이 오로지 시작점과 종점에 대해서만 의존적인 성질이다. 선적분, 또는 경로 적분에 대해서는 아래 글에서 다루었다. [Vector Calculus] 경로 적분

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따라서 미적분학의 기본 정리를 적용할 수 있으며

경로의 시작점을 $z_1$, 종점을 $z_2$라 하면

$\displaystyle \int_C f(z)\; \mathrm dz = F(z_2) - F(z_1)$

 

그러므로 정칙 함수를 폐곡선 경로(Contour)으로 적분하면 그 값이 0이다. 즉,

$\displaystyle \oint_C f(z)\; \mathrm dz = 0$

 

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