[Vector Calculus] 경로 독립, 구배, 포텐셜 함수, 보존적 함수

경로 독립 Path Independent

경로 독립이란 선적분의 값이 오로지 시작점과 종점에 대해서만 의존적인 성질이다.

선적분, 또는 경로 적분에 대해서는 아래 글에서 다루었다.

[Vector Calculus] 경로 적분

즉, 시작점과 종점이 같다면 그 사이의 경로가 어떻든 간에

적분 결과가 같다는 것이다.

일반적으로 이는 성립하지 않는다.

이것이 성립하기 위한 조건을 알아보자.

 

경로적분

$\displaystyle \int_C \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf r$

$\displaystyle =\int_C \left( F_x \mathrm d x + F_y \mathrm d y + F_z \mathrm d z \right) $

여기서

$\mathrm dG =  F_x \mathrm d x + F_y \mathrm d y + F_z \mathrm d z$

인 스칼라 함수 $G(x, y, z)$가 존재한다면

위는 미분의 역을 구할 수 있으므로, 즉 부정적분을 구할 수 있고

다음으로 쓸 수 있다.

$\displaystyle \int_C dG = \int_{\mathbf r_1} ^{\mathbf r_2} dG = G(\mathbf r_2) - G(\mathbf r_1)$

즉, 미적분학의 기본정리(Fundumental Theorem of Calculus)를 적용할 수 있는 것이다.

정적분에서, 적분값은 오로지 시작점과 종점으로 정해지므로

이런 조건을 만족하는 함수는 경로독립이라 할 수 있다.

 

여기서 조건을 좀 더 수학적으로 표현하자면

$dG = F_x \mathrm dx + F_y \mathrm dy + F_z \mathrm dz$

라는 것은 전미분의 형태이므로

$dG = \nabla G \cdot \mathrm d \mathbf r$

$\nabla G = \mathbf F$

함수 $G$의 구배(Gradient)가 함수 $\mathbf F$인 것이다.

 

구배와 전미분에 대해서는 아래 글에서 다루었다.

[Vector Calculus] 델 연산자 ($\nabla$), 구배, 방향 도함수, 발산, 회전

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보존적 함수, 포텐셜 함수 Conservative Function, Potential Function

위와 같이 경로독립인 함수를 부르는 말로

보존적(Conservative)이다, 또는 포텐셜(Potential) 함수다. 라고 한다.

 

이는 물리와 관련있다.

보존한다는 표현은 역학적 에너지 보존에서 나왔다.

 

포텐셜이라는 표현은 포텐셜 에너지

즉, 위치 에너지, 탄성 에너지와 같은 것에서 유래한다.

 

위치 에너지($E_p = mgh$)는

오로지 기준점과의 상대적인 높이 차($h$)에 의해서만 결정된다.

어떤 경로를 통해 그 높이에 올랐는가는

위치 에너지를 계산하는 데에 있어 무의미하다.

 

 

탄성 에너지($E_p = \cfrac 1 2 k x^2$)도 그렇다.

오로지 자유 길이에서부터의 변위 $x$에 의해서만 결정된다.

어떤 경로를 통해 그 위치로 되었는가는 마찬가지로 무의미하다.

 

그리고 이 두 에너지를 만들어 내는 힘,

중력과 탄성력은 물체에 작용해도 마찰력과 공기저항과는 달리

그 물체의 역학적 에너지가 변하지 않는다.

즉, 보존력인 것이다.

 

그리고 중력은 중력장에 질량을 곱하여 구한다.

중력장은 벡터장이고 질량은 스칼라 이므로

수학적으로 중력도 벡터장이다.

중력이 포텐셜이므로 중력장도 포텐셜이다.

중력장, 전기장 등 한 점으로 부터 방사형으로 뻗어나가는

모든 것이 포텐셜이다.