[Complex Analysis] 복소수와 극형식, 드 무아브르 법칙

극형식 Polar Form

극형식은 복소평면을 극좌표계로 하여, 복소수를 표현하는 방법이다.

복소평면은 아래 글에서 다루었다.

[Complex Analysis] 복소수, 복소평면

극좌표계는 아래 글에서 다루었다.

[Calculus] 극좌표계

 

 

극좌표계로 표현한 점 $(r, \theta)$는

카르테시안으로 변환하면 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$가 된다.

점 $(r\cos\theta, r\sin\theta)$을 복소평면의 관점으로 보면

$r(\cos\theta + i\sin\theta)$가 된다.

여기서 오일러 공식을 이용하자.

 

오일러 공식은 아래 글에서 다루었다.

[Calculus] 오일러 공식

 

따라서 $r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta}$이다.

$z = x + yi = re^{i\theta}$ 로 표현하는 것을 극형식이라 한다.

 

여기서 $r$은 복소수의 크기, 즉 절댓값이다.

$|z| = \sqrt {z \bar z} = r$

$\theta$는 편각이라 하고

$\arg z = \tan ^{-1} (y / x) = \theta$

이다.

 

각도를 사용하므로 복소수의 극형식은 유일하지 않다.

$\theta = \theta + 2n\pi , n \in \mathbb Z$

이기 때문이다.

즉 위치는 같아도 각도는 다를 수 있다.

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극형식의 이점 Benefits of Polar Form

극형식을 살펴보자.

$z = re^{i\theta}$

곱셈과 지수의 형태로 구성되어 있다.

따라서 곱셈 연산에서 계산이 간편해지는 이점이 있다.

 

$z = a + bi, w = c + di$에 대하여 곱셈을 하면

$zw = (a + bi)(c + di) = (ac -bd) + (ad + bc)i$

이처럼 분배법칙을 적용하여 여러 번 계산해야 한다.

 

하지만 극형식을 사용하여 나타낸 후

$z = r_1 e^{i\theta_1}, w = r_2 e^{i\theta_2}$

곱셈을 하면

$zw = (r_1 e^{i\theta_1})(r_2 e^{i\theta_2}) = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)}$

이와 같이 크기와 각도의 관계로 나타나게 된다.

 

극형식을 통해 복소수의 곱셈을 살펴보면

크기는 서로 곱하고 각도는 서로 더하는 것을 알 수 있다.

 

각도를 더한다는 것은 회전시키는 것과 같다.

즉 허수를 곱하는 것은 수를 회전시키는 것이다.

 

이것으로 삼각함수의 덧셈공식도 유도가 가능하다.

위의 $z, w$를 이용하여

$z = r_1 e^{i\theta_1} = r_1 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)$

$w = r_2 e^{i\theta_2} = r_2 (\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$

이고 이들의 곱

$zw = r_1 r_2 e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = r_1 r_2 (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$

여기서 $e^{i(\theta_1 + \theta_2)} = (\cos \theta_1 + i \sin \theta_1)(\cos \theta_2 + i \sin \theta_2)$ 이므로

$\cos (\theta_1 + \theta_2) + i \sin (\theta_1 + \theta_2)$

$= (\cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2) + i (\sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2)$

위는 항등식이고 이가 성립하기 위해서는 실수부 끼리 서로 같고 허수부 끼리 서로 같아야 하므로

$\cos (\theta_1 + \theta_2) = \cos \theta_1 \cos \theta_2 - \sin \theta_1 \sin \theta_2$

$\sin (\theta_1 + \theta_2) = \sin \theta_1 \cos \theta_2 + \cos \theta_1 \sin \theta_2$

이다.

 

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드 무아브르 법칙 De Moivre's Law

복소수 $z = e^{i\theta}$에 대하여

$z^n = e^{in\theta} = \cos (n\theta) + i \sin (n\theta)$

이다.

복소수의 거듭제곱을 쉽게 계산할 수 있는 방법이다.

이는 본래 $n \in \mathbb N$에 대하여 유도되었으나

복소수 지수에 대해서도 성립한다.

지수법칙이 복소수까지 성립하기 때문이다.