[Calculus] 오일러 공식

오일러 공식 Euler's Formula

$e^ {i\pi} +1 =0$

이라는 수식을 익히 알 것이다.

세상에서 가장 아름답다는 수식인데, 이는 본래 아래로 부터 나왔다.

 

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

 

먼저 드는 의문은 지수에 허수가 들어가도 괜찮은가?

당연하다.

 

이 공식이 왜 성립하는지 테일러 급수를 통해 확인해 보자.

https://bright-dawn.tistory.com/14

[Calculus] 테일러 급수

 

먼저 좌변을 살펴보자.

$\displaystyle e^x = \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac 1 {n!} x^n $

이므로

$\displaystyle e^{ix} = \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac 1 {n!} (ix)^n $

$\displaystyle = 1 + ix + \cfrac {i^2} {2!} x^2+ \cfrac {i^3} {3!} x^3 + \cfrac {i^4} {4!} x^4 + \cdots$

$\displaystyle = 1 + ix -\cfrac {1} {2!} x^2 - \cfrac {i} {3!} x^3 + \cfrac 1 {4!} x^4 + \cdots$

우변은 각 항을 따로 살펴보면

$\displaystyle \cos x = \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} = 1 - \cfrac 1 {2!} x^2 + \cfrac 1 {4!} x^4 + \cdots$

$\displaystyle \sin x = \sum_{n = 0}^{\infty} \cfrac {(-1)^n} {(2n+1)!} x^{2n+1} = x - \cfrac 1 {3!} x^3 + \cfrac 1 {5!} x^5 + \cdots$

이므로 정리하면

$1 + ix - \cfrac 1 {2!} x^2 - \cfrac i {3!} x^3 + \cfrac 1 {4!} x^4 + \cfrac i {5!} x^5 + \cdots$

이고 이는 좌변과 같다.

---

관련 등식 Related Identities

 

$\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x$라는 등식으로부터 여러 성질들을 유도해보자.

 

$\displaystyle e^{-ix} = e^{i(-x)} = \cos (-x) + i \sin (-x) = \cos x - i \sin x$

양변에 복소 켤레(Complex Conjugate) 연산을 취한 것과 일치한다.

 

이 둘을 더하면

 

$\displaystyle e^{ix} + e^{-ix} = 2\cos x$

$\displaystyle \cos x = \cfrac {e^{ix} + e^{-ix}} 2 = \cosh (ix)$

 

빼면

 

$\displaystyle e^{ix} - e^{-ix} = (2i) \sin x$

$\displaystyle \sin x = \cfrac {e^{ix} - e^{-ix}} {2i} = \cfrac  {\sinh (ix)} i$

 

따라서

$\cosh (ix) = \cos x$

$i \sinh (ix) = \sin x$

 

이다.

 

복소수를 도입하니 쌍곡삼각함수와 삼각함수의 관계가 드러났다.