[Calculus] 합성함수와 연쇄법칙

함수의 합성 Function Composition

 

함수 $f : \mathbf X_f \mapsto \mathbf Y_f$

함수 $g : \mathbf X_g \mapsto \mathbf Y_g$

$\mathbf Y_g \subset \mathbf X_f$

에 대하여

$h(x) = (f\circ g)(x) = f(g(x)) : \mathbf X_g \to \mathbf Y_f$

를 함수 $f$와 $g$의 합성함수라 한다.

 

$e^{-x^2}$, $\sin (2x + \pi)$ 등이 합성함수이다.

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합성함수의 미분 Differentiation of Composite Function

미분의 정의를 그대로 따라가면 된다.

미분의 정의인

$\displaystyle \cfrac {df} {dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(x+\Delta x) - f(x)} {\Delta x}$

을 함수 $h(x) = f(g(x))$ 적용하자.

$\displaystyle \cfrac {dh} {dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {h(x+\Delta x) - h(x)} {\Delta x}$

$ =\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))} {\Delta x}$

$ =\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))} {g(x + \Delta x) - g(x)} \cfrac {g(x + \Delta x) - g(x)} {\Delta x}$

$ =\displaystyle \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {f(g(x+\Delta x)) - f(g(x))} {g(x + \Delta x) - g(x)} \lim_{\Delta x \to 0} \cfrac {g(x + \Delta x) - g(x)} {\Delta x}$

$ =\displaystyle \cfrac {df} {dg} \cfrac {dg} {dx}$

 

 

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연쇄법칙 Chain Rule

결과를 살펴보자.

$\displaystyle \cfrac {dh} {dx} = \cfrac {df} {dg} \cfrac {dg} {dx}$

$f$를 $g$에 대하여 미분한 값과 $g$를 $x$에 대하여 미분한 값의 곱으로 나온다.

합성한 순서 그대로 미분을 연쇄적으로 하여 결과를 곱하는 것이다.

그래서 이를 연쇄법칙(Chain Rule)이라 부른다.

어떤 함수 $y(x)$에 함수 $f_1, f_2, \cdots, f_n$을 차례로 합성한다고 가정하자.

$g(x) = y(f_1(f_2(\cdots f_n(x)\cdots )))$

$\cfrac {dg} {dx} = \cfrac {dy} {df_1} \cfrac {df_1} {df_2} \cdots \cfrac {df_{n-1}} {df_n} \cfrac {df_n} {dx}$

가 된다.

 

연쇄법칙은 합성함수의 미분이나 매개변수화를 할 때 중요하다.

요점은 미분 연산자 $\cfrac {dy} {dx}$를 마치 분수처럼 다룰 수 있다는 점이다.

이 점은 미분방정식을 풀 때나 미소 요소에 대한 해석에 도움이 된다.