[Calculus] 급수의 수렴 판정 - 2

교대 급수의 수렴 판정

$a_n > 0$에 대하여 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ 또는

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^(n+1) a_n$ 인 급수를 교대급수이라고 한다.

 

교대급수의 일반적인 수렴성은 다음과 같다.

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n = 0 \land 0< a_{n+1} \le a_n \rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n$ 수렴

 

 

양항급수와 다르게 교대급수는 절대수렴과 조건수렴이란 개념이 존재한다.

 

절대수렴  Absolute Convergence

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \begin {vmatrix} a_n \end {vmatrix}$가 수렴할 때

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 절대수렴한다고 한다.

 

조건수렴  Conditional Convergence

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 수렴하지만,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \begin {vmatrix} a_n \end {vmatrix}$가 발산할 때,

$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_n$이 조건수렴한다고 한다.

 

 

마찬가지로 여러 판정법들이 존재하나 가장 강력한 것은 절대비 판정법과 절대근 판정법이다.

아래의 판정법은 급수가 절대수렴하는지 여부를 판정한다.

 

절대비 판정법 Ratio Test

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} {\begin {vmatrix} {\cfrac {a_{n+1}} {a_n}} \end {vmatrix}} = \rho \; (a_n \ne 0)$

$\rho < 1 \rightarrow $ 절대수렴

$\rho > 1 \rightarrow $ 발산

$\rho = 1 \rightarrow $ 알 수 없음

 

근 판정법 Root Test

$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sqrt [n]  {\begin {vmatrix} a_n \end {vmatrix}} = \rho$

$\rho < 1 \rightarrow $ 절대수렴

$\rho > 1 \rightarrow $ 발산

$\rho = 1 \rightarrow $ 알 수 없음