[Vector Calculus] 라플라시안 $\nabla ^2$

라플라시안 $\nabla ^2$ Laplacian

라플라시안 연산자는 스칼라 함수의 구배의 발산으로 정의된다.

델 연산자와 구배, 발산에 대하여 아래 글에서 다루었다.

[Vector Calculus] 델 연산자 ($\nabla$), 구배, 방향 도함수, 발산, 회전

 

즉, $\nabla ^2 f = \nabla \cdot (\nabla f)$

 

이를 ESC를 이용하여 표기해 보자.

ESC에 대해서는 아래 글에서 다루었다.

[Vector Calculus] 아인슈타인 표기, 크로네커 델타, 레비-치비타 기호

$\nabla f = f_{,i} \mathbf e_i$

$\nabla \cdot (\nabla f) = f_{ii}$

ESC를 풀어서 써보면

$\displaystyle f_{ii} = \cfrac {\partial^2 f} {\partial x ^2} + \cfrac {\partial^2 f} {\partial y ^2}  + \cfrac {\partial^2 f} {\partial z ^2} $

즉 각 축에 대한 이계 편도함수의 합으로 나타난다.

 

이러한 연산자는 공학의 여러 분야에서 쓰이는데

대표적인 곳이 열전달이다.

전도에 대한 법칙인 푸리에 법칙은 다음으로 정의된다.

$q'' = k\nabla ^2 T$

열 유속(Heat Flux) $q''$는 온도(Temperature) $T$의 라플라시안에 비례한다.

 

그리고 이 연산자를 쓰는 다음의 방정식

$\nabla ^2 f = 0$

을 라플라스 방정식(Laplace Equation)이라 부른다.

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조화 함수 Harmonic Function

라플라스 방정식 $\nabla ^2 f = 0$ 의 해가 될 수 있는 함수를 조화 함수라고 한다.

조화 함수는 라플라스 연산자에 대한 영원으로 볼 수 있으며

라플라스 연산자가 선형이므로

조화 함수의 선형 결합 역시 조화 함수이다.

 

단일변수 함수 $f(x)$에 대해서 라플라스 연산자는

$\displaystyle \cfrac {d^2} {dx^2}$

으로 나타낼 수 있고 이 때의 라플라스 방정식은

$\displaystyle \nabla ^2 f = \cfrac {d^2 f} {dx^2} = 0$

 

따라서 이때의 해는

$f(x) = ax + b$