[Linear Algebra] 역행렬 : 가우스-조던 소거법

가우스-조던 소거법 Gauss-Jordan Elimination

가우스-조던 소거법은 연립방정식의 해를 구하는 방법이었다.

위에 대해서는 아래 글에서 다루었다.

[Linear Algebra] 가우스-조던 소거법

이를 이용하여 역행렬을 구하는 방법이 있다.

역행렬이 무엇인가?

$AA^{-1} = A^{-1}A = I$

를 만족하는 행렬이었다.

정칙 행렬, 가역 행렬에 대하여 유일하게 존재했다.

 

임의의 행렬

$A = \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix}$

에 대하여

$AA^{-1} = I$는

$\begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{bmatrix} A^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

 

이는 $A^{-1}$의 1열이 $A\mathbf x_1 = \left[ 1\; 0\; 0\right]^T$ 의 해가 되고

이는 $A^{-1}$의 2열이 $A\mathbf x_2 = \left[ 0\; 1 \;0\right]^T$ 의 해가 되고

이는 $A^{-1}$의 1열이 $A\mathbf x_3 = \left[ 0\; 0 \;1\right]^T$ 의 해가 되는 것이다.

 

그렇기 때문에 가우스-조던 소거법을 이용하여 역행렬을 구할 수가 있다.

 

다음과 같이 두 행렬을 붙여보자. 이를 첨가 행렬(Augmented Matrix)라고 한다.

$\left[ A | I \right] = \left[ \begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right]$

 

이 상태에서 왼편을 단위 행렬로 만들게 되면

오른쪽에 남는 것이 역행렬이 된다.

그 과정에서 쓰이는 것이 바로 행렬을 RREF로 만들어주는 가우스-조던 소거법인 것이다.

 

 

$ A = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -5 \\ -1 & 5 & 7 \end{matrix} \right]$

에 대하여 가우스-조던 소거법을 이용하여 역행렬을 구해보자.

 

$\left[ A | I \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 2 & 0 & -5 \\ -1 & 5 & 7\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

$R_2 - 2R_1 \rightarrow R_1$

$R_3 + R_1 \rightarrow R_3$

$\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & -6 & 3 \\ 0 & 8 & 3\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

$-\cfrac 1 6 R_2 \rightarrow R_2$

$\left[ \begin{matrix} 1 & 3 & -4 \\ 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 8 & 3\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 1/3 & -1/6 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

$R_1 - 3R_2 \rightarrow R_1$

$R_3 - 8R_2 \rightarrow R_3$

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -5/2 \\ 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 7\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1/3 & -1/6 & 0 \\ -5/3 & 4/3 & 1 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

$\cfrac 1 7 R_3 \rightarrow R_3$

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & -5/2 \\ 0 & 1 & -1/2 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} 0 & 1/2 & 0 \\ 1/3 & -1/6 & 0 \\ -5/21 & 4/21 & 1/7 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

$R_2 + \cfrac 1 2 R_3$

$R_1 + \cfrac 5 2 R_3$

$\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix} \right| \left. \begin{matrix} -25/42 & 41/42 & 5/14 \\ 3/14 & -1/14 & 1/14 \\ -5/21 & 4/21 & 1/7 \end{matrix} \right] \begin{matrix} \cdots R_1 \\ \cdots R_2 \\ \cdots R_3 \end{matrix}$

 

따라서 행렬 $A$의 역행렬은

$A^{-1} = \begin{bmatrix} -25/42 & 41/42 & 5/14 \\ 3/14 & -1/14 & 1/14 \\ -5/21 & 4/21 & 1/7 \end{bmatrix}$

 

실제로 역행렬인지는 각자가 확인해 보도록 하자.