[Linear Algebra] 선형 독립, 공간, 형성, 기저

선형 독립 Linear Independence

벡터 $\mathbf u, \mathbf v, \mathbf w \in\mathbb R^n$와

모든 실수 $a, b \in \mathbb R$에 대하여

$a\mathbf u + b\mathbf v \ne \mathbf w$

이라면 벡터 $\mathbf w$는 벡터 $\mathbf u, \mathbf v$에 대하여 선형 독립이다.

 

즉 다른 두 벡터의 선형 조합으로 만들 수 없다면 그 두 벡터와 선형 독립이다.

그렇지 않다면 선형 종속(Linearly Dependent)이라 한다.

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공간 Space, 형성 Span

벡터 집합 $V$가 주어질 때

이 집합의 원소 $\mathbf u, \mathbf v \in V$ 에 대하여

$S = \left\{\mathbf w|\mathbf w = a \mathbf u + b \mathbf v, a,b \in \mathbb R\right\}$를

벡터 집합 $V$가 형성(Span)하는 공간 $S$라고 한다.

 

 

예를 들면 $\hat i = \left \langle 1, 0\right \rangle, \hat j = \left \langle 0, 1\right \rangle$

은 선형 조합으로 좌표 평면 $\mathbb R^2$ 위의 모든 벡터를 만들 수 있으므로

벡터 집합 $V = \left \{ \hat i, \hat j \right \}$은 공간 $\mathbb R^2$를 형성한다.

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기저 Basis

어떤 공간 $S$를 형성할 수 있는 벡터 집합 중 최소의 집합을 의미한다.

즉 위의 예시에서 $V = \left \{ \hat i, \hat j \right \}$가

공간 $\mathbb R^2$의 기저다.

 

기저의 성질을 알아보자.

 

기저는 공간에 대하여 유일하지 않다.

기저의 개수는 공간의 차원과 같다.

기저는 서로 선형 독립이다.

 

예를 들면, 벡터 집합 $W = \left \{ \left \langle 1, -1 \right \rangle, \left \langle 1, 1 \right \rangle \right \}$

또한 공간 $\mathbb R^2$를 형성한다.

$n$차원의 공간을 형성하기 위해서는 반드시 $n$개의 기저가 필요하다.