[Material Mechanics] 훅의 법칙, 응력, 변형률

훅의 법칙 Hooke's law

훅의 법칙은 탄성법칙이라고도 불리며 스프링과 같은 탄성체에서 힘과 변위의 관계를 나타낸다.

이는 다음과 같다.

$\textbf F = -k\textbf x$

 

음의 부호는 변위가 일어난 반대 방향으로 힘이 작용한다는 의미이다.

즉 탄성체는 원래의 상태(변위가 없는 상태)로 돌아가려는 성질이 있다.

그래서 탄성력을 복원력이라고도 부른다.

여기서 $k$는 스프링의 탄성계수이고 $\mathrm {[N/m]}$의 단위를 갖는다.

 

---

변형체 Flexible body

재료역학에서 다루는 물체는 변형체(Flexible body)이다.

즉. 훅의 법칙에 의하여 힘이 작용할 때 변형(Deformation)을 일으키는 물질들을 다룬다.

변형체의 정의는 외력이 작용할 때 물체의 임의의 두 지점간의 상대 변위가 변하는 물체를 말한다.

한편, 정역학에서 다루는 물체는 변형을 고려하지 않는 강체(Rigid body)이다.

실제 대부분의 고체 물질들이 변형체이다.

 

변형체에서의 훅의 법칙은 다음으로 표현된다.

$\sigma = E\varepsilon$

 

여기서 $\varepsilon$은 변형률(Strain)로 단위가 없는 무차원수이다.

$E$는 (종)탄성계수로 물체의 고유한 성질이다. Young's Modulus라고도 불린다. 단위는 $\mathrm {[Pa] = [N/m^2]}$이다.

$\sigma$는 응력(Stress)으로 물체 내부의 입자간에 작용하는 힘이다. 단위는 $\mathrm {[Pa] = [N/m^2]}$이다.

---

응력 Stress

응력은 위에서 설명한 것처럼 물체 내부의 입자간에 작용하는 힘이다.

다음으로 정의된다.

$\sigma = \cfrac {\textbf F} {A}$

 

재료역학 또한 기본적으로 정역학과 같이 $\Sigma \textbf F = \vec 0$을 전제로 한다.

이는 물체 내부에서도 마찬가지이다.

입자간에 힘의 상호작용이 입자들을 붙들어 놓게 만들어주고

이 힘이 외력이 제거되었을 때 복원력으로서 작용할 수 있도록 해준다,

힘($\mathrm {[N]}$)인데 왜 단위는 압력($\mathrm {[Pa]}$)일까?

 

이는 연속체 가정(Continuum assumption)을 하기 때문이다.

 

크게 재료역학은 연속체 역학의 한 갈래로서 특히 고체상(solid phase)의 연속체에 대한 역학을 다룬다.

연속체는 실제 물체를 이상화(Idealize)한 것이다.

실제 물체는 원자로 또는 분자로 이루어져 있어 불연속적이고 틈이 존재한다.

하지만 연속체는 이를 꽉찬 덩어리로 근사한다.

이러한 근사는 원자나 분자 크기보다 큰 스케일에서 매우 훌륭한 근사치를 제공하고 계산을 용이하게 한다.

 

따라서, 물체가 덩어리로 되어 있다고 가정하기 때문에 해석상 힘은 입자간에 작용하는 것이 아니라

단면간에 작용하는 것으로 해석된다. 따라서 압력의 단위를 가진다.

실제로는 해당 지점 또는 단면의 입자간에 작용하는 힘들의 평균치를 나타내게 된다.

 

이같은 해석은 실제 물리적 현상을 잘 설명한다.

같은 재질일 경우 얇은 물체가 두꺼운 물체보다 더 휘거나 부러뜨리기 쉽다.

같은 힘을 가했을 때 단면이 작아 더 큰 응력이 가해지기 때문이다.

 

또한 이렇게 접근할 경우 물체의 형상에 구애받지 않고 일반적으로 적용할 수 있다는 장점도 있다.

단면에 대한 평균이기 때문이다.

---

변형률 Strain

변형률은 다음으로 정의된다.

$\varepsilon = \cfrac \delta L$

 

변형 전 길이 $L$과 변위 $\delta$의 비이다.

이 또한 응력과 같이 물체의 형상에 구애받지 않고 일반적으로 적용할 수 있다는 장점이 있다.