[Calculus] 중적분, 푸비니 정리

중적분 Double Integral

중적분 또는 면적분이라 부르는 이 계산은 두 개의 독립변수를 갖는 스칼라 함수

$z = f(x, y)$에 대하여

$\displaystyle \int\int f(x, y)\; dx\;dy$

와 같은 연산을 의미한다.

 

이러한 연산은 동역학, 정역학 등에도 등장하고

면에 분포하는 어떤 물리량들을 합산하는 데에 흔히 활용된다.

 

간단한 예제를 풀어보자.

$f(x, y) = xy + 3x + y^2$

를 직선 $y = x, y = 0, x = 1$이 감싸는 영역에 대하여 정적분하고자 한다.

위 영역을 그림으로 표현하면 다음과 같을 것이다.

위의 파란 영역이 적분해야 하는 영역이다.

$x, y$순으로 적분해 보자.

위 그림을 살펴 보면 변수 $x$의 구간은 $y$에 따라 다른 것을 알 수 있다.

시작점 즉, 왼쪽 끝이 직선 $y = x$ 위에 있으므로

$x$에 대한 적분 구간의 시작점은 $y$이다.

그리고 $y$는 그런 $x$구간의 적분을 $[0, 1]$에서 시행하는 것과 같다.

 

따라서,

$\displaystyle \int_0^1 \int_y^1 f(x, y)\; dx\; dy$

로 쓸 수 있을 것이다.

 

위 값을 구해보자.

안쪽 적분을 먼저 시행하면

$\displaystyle \int_y^1 \left( xy + 3x + y^2 \right) \; dx$

$\displaystyle = \left[ \cfrac 1 2 x^2y + \cfrac 3 2 x^2 + xy^2 \right]^1_y$

$\displaystyle = \left( \cfrac 1 2 y + \cfrac 3 2 + y^2 \right) - \left( \cfrac 1 2 y^3 + \cfrac 3 2 y^2 + y^3 \right)$

$\displaystyle = -\cfrac 3 2 y^3 -\cfrac 1 2 y^2 + \cfrac 1 2 y + \cfrac 3 2$

 

여기서 적분은 항상 편미분과 마찬가지로 하나의 변수에 대해서만 시행된다는 점을 확인하자.

적분에서, 적분 변수가 아닌 모든 변수는 상수 취급된다.

 

위의 결과를 대입하여 $y$에 대한 적분을 마저 시행하면

$\displaystyle \int_0^1 \left(-\cfrac 3 2 y^3 -\cfrac 1 2 y^2 + \cfrac 1 2 y + \cfrac 3 2 \right) \; dy$

$\displaystyle = \left[ -\cfrac 3 8 y^4 - \cfrac 1 6 y^3 + \cfrac 1 4 y^2 + \cfrac 3 2 y \right]_0^1$

$\displaystyle = -\cfrac 3 8 - \cfrac 1 6 + \cfrac 1 4 + \cfrac 3 2$

$\displaystyle = \cfrac 29 24$

 

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푸비니 정리 Fubini's Theorem

중적분에 대해서 두 적분 변수의 순서를 바꾸어도 적분 값은 같다는 정리이다.

단 이때 적분 구간은 영역에 대하여 상대적으로 변하므로 주의해야 한다.

 

위의 예시를 통해 확인해보자.

위에서는 $x, y$ 순서로 적분을 시행했다.

이제 순서를 바꾸어 $y, x$ 순서로 해보자.

 

적분 변수 $y$의 범위는 시작점은 0이나 끝점이 직선 $y = x$ 위에 있다.

따라서 구간은 $[0, x]$가 될 것이고 다음과 같이 적분식을 고칠 수 있을 것이다.

$\displaystyle \int_0^1 \int_0^x f(x, y) \; dy \; dx$

위 결과가 앞서 했던 값과 일치하는지 확인하자.

 

안쪽 적분을 먼저 해보면

$\displaystyle \int_0^x f(x, y) \; dy$

$\displaystyle = \int_0^x \left( xy + 3x + y^2 \right) \; dy$

$\displaystyle = \left[ \cfrac 1 2 xy^2 + 3xy + \cfrac 1 3 y^3 \right]_0^x$

$\displaystyle = \cfrac 1 2 x^3 + 3x^2 + \cfrac 1 3 x^3$

$\displaystyle = \cfrac 5 6 x^3 + 3x^2$

 

위 결과를 대입하여 바깥쪽 적분을 시행하면

$\displaystyle \int_0^1 \left( \cfrac 5 6 x^3 + 3x^2 \right) \; dx$

$\displaystyle = \left[ \cfrac 5 {24} x^4 + x^3 \right]_0^1$

$\displaystyle = \cfrac {29} {24}$

 

같은 값이 나온 것을 확인할 수 있다.