[Differential Equation] ODE 풀이법 - 특성 방정식

특성 방정식 Characteristic Equation

특성 방정식은 상수 계수를 갖는 제차 상미분방정식에 대한 일반적인 풀이법이다.

 

특성 방정식의 아이디어는 다음으로 부터 나온다.

$\displaystyle \cfrac d {dx} e^{\lambda x} = \lambda e^{\lambda x}$

 

지수함수 $e^x$는 미분을 해도 그대로다.

그러므로 상수 계수를 갖는 제차 상미분 방정식

$a_0 y + a_1 y' + a_2 y'' + \cdots + a_n y^{(n)} = 0$

에서 해의 형태는 위와 같은 지수함수의 꼴로 나오게 된다.

 

위 방정식에 $y = e^{\lambda x}$를 대입해 보면

$\left( a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda ^2 + \cdots + a_n \lambda ^n \right) e^{\lambda x} = 0$

여기서 지수함수는 0이 될 수 없으므로 소거하면

$a_0 + a_1 \lambda + a_2 \lambda ^2 + \cdots + a_n \lambda ^n = 0$

과 같은 $\lambda$에 대한 다항 방정식이 나온다.

 

이 다항 방정식을 살펴보면 미분 차수와 미지수의 차수가 같고

그 계수가 원래 미분 방정식의 계수와 같음을 알 수 있다.

 

위에서 나오는 해 $\lambda_n$이 각각 제차해의 기저가 된다. 즉,

$y_h = c_1 e^{\lambda _1 x} + c_2 e^{\lambda _2 x} + \cdots + c_n e^{\lambda _n x}$

 

간단한 예시를 보자.

$y'' + 3y' + 2y = 0$

이에 대응되는 특성 방정식을 구하면

$\lambda ^2 + 3 \lambda + 2 = 0$

$(\lambda + 1) (\lambda + 2) = 0$

따라서 $\lambda = -1, -2$

제차해의 기저는 따라서 $e^{-x}, e^{-2x}$

그러므로 제차해는 기저의 선형 조합 즉,

$y_h = c_1 e^{-x} + c_2 e^{-2x}$